Métodos Numéricos

Introducción
El método de Newton-Raphson, es un método abierto y se basan en fórmulas que solamente requieren de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran la raíz. Éstos, algunas veces, divergen o se alejan de la raíz verdadera a medida que avanzan en el cálculo, Sin embargo cuando estos métodos abiertos convergen, en general lo hacen mucho más rápido  que los métodos cerrados.

El método iterativo para sistemas de ecuaciones converge lineal mente. Como en el método de una incógnita. En fórmula de Newton-Raphson, si el valor inicial para la raíz es xi, entonces se puede trazar una tangente  desde el punto [xi, f (xi)]. Por lo común, el punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.
No hay un criterio general de convergencia para el método de Newton-Raphson. Su convergencia depende de la naturaleza de la función y la exactitud del valor inicial. La única solución en estos casos es tener un valor inicial suficientemente cercano a la raíz. Y para algunas ocasiones ningún valor inicial no funcionara. Los buenos valores iniciales por lo común se predicen con un conocimiento del problema físico.

Formula
Procedimiento:

1. Se elige un valor inicial de xi.
2. Se calcula f´(xi) .
3. Si: es una solución estimada; en caso contrario, continuar con el paso 4.
4. Se calcula xi+1 a partir de la formula.
5.  xi se iguala a xi+1 y se regresa al paso 2.

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Aplicaciones:
Este método se puede aplicar en:

• El desplazamiento de una estructura para una oscilación amortiguada.
• En finanzas
• El principio de la esfera sumergida en agua
• Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales

Fuentes:

• Métodos Numéricos para ingenieros, Steven C. Chapra, Raymond P. Canale. Séptima Ed. Ed. McGrawHill.
• Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería, Terrence J. Akai, Primera edición, Ed. Limusa Noriega Editores.
• Métodos Numérico Aplicados a la ingeniería, Antonio Nieves , Federico C. Domínguez Ed. CECSA.   

Introducción
Aun cuando las integrales definidas habían sido ya definidas y usadas mucho antes que Riemann, el generalizo este concepto para abarcar una categorial más amplia de funciones.
En la definición siguiente de la suma de Riemann, hay que observar que la función f no tiene más restricciones que estar definida en el intervalos  y suponiendo que la función f es continua y no negativa porque se trata de áreas bajo la curva.

Sumas de Riemann
Una partición del intervalo  es una colección de puntos. Sea  definida en el intervalo cerrado  y, sea  una partición de  dada por:

Que divide [a,b] en n subintervalos de longitudes:
                               
Se dice que la partición es regular cunado todos los subintervalos tienen la misma longitud

Es una partición regular, las anchuras de los rectángulos de aproximación tienden a cero cuando n se hace grande. Puesto que éste no es necesariamente el caso para una partición general, se necesita alguna forma de medir el tamaño de estar anchuras. Una de ella consiste en hacer que máx se le llama norma de la partición. Dada una partición general la norma está relacionada con el número de subintervalos en [a,b]  de la manera siguiente: 
Por lo tanto, el número de subintervalos de una partición tiende a infinito cuando la norma de la partición tiende a=0. Es decir:

El enunciado, inverso de esta afirmación no es válido.

Suma superior y la suma inferior de Riemann

Sea:
una partición de [a,b]. Se define la la suma de Riemann de f para la partición p como:

Donde:  y la suma superior de Riemann de f  como:
Donde:Claramente, si:son particiones de  tales que P’ es más fina que P entonces:

Nota: Si:  Al aumentar n consideramos cada vez particiones más finas luego las sumas inferiores de Riemann se aproximan cada vez más por defecto al área, la recta x=a y la recta x=b y con las sumas superiores nos aproximamos por exceso.

Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada de forma práctica, pues es necesario conocer el infinito y el supremo sobre cualquier partición
Ponemos las fórmulas más importantes:
Si deseas ver un ejemplo practico, da clic en la imagen


Fuentes: 

• Cálculo Trascendentales Tempranas, James Stewart, Séptima Edición, Edit. CENAGAGE Learning.
• Cálculo Esencial, Larson, Hostetler, Edwars, Quinta Edición Edit. CENAGAGE Learning.
• Cálculo Trascendentales Tempranas, Anton, Cuarta Edición Edit. Limusa Wiley.
• http://www.dma.fi.upm.es/recursos/aplicaciones/calculo_infinitesimal/integracion/teoria_integral.html