Sumas de Riemann
Introducción
Aun cuando las integrales definidas habían sido ya definidas y usadas mucho antes que Riemann, el generalizo este concepto para abarcar una categorial más amplia de funciones.
En la definición siguiente de la suma de Riemann, hay que observar que la función f no tiene más restricciones que estar definida en el intervalos y suponiendo que la función f es continua y no negativa porque se trata de áreas bajo la curva.
Sumas de Riemann
Una partición del intervalo es una colección de puntos. Sea definida en el intervalo cerrado y, sea una partición de dada por:
Que divide [a,b] en n subintervalos de longitudes:
Se dice que la partición es regular cunado todos los subintervalos tienen la misma longitud
Es una partición regular, las anchuras de los rectángulos de aproximación tienden a cero cuando n se hace grande. Puesto que éste no es necesariamente el caso para una partición general, se necesita alguna forma de medir el tamaño de estar anchuras. Una de ella consiste en hacer que máx se le llama norma de la partición. Dada una partición general la norma está relacionada con el número de subintervalos en [a,b] de la manera siguiente:
Por lo tanto, el número de subintervalos de una partición tiende a infinito cuando la norma de la partición tiende a=0. Es decir:
El enunciado, inverso de esta afirmación no es válido.
Suma superior y la suma inferior de Riemann
Sea:
una partición de [a,b]. Se define la la suma de Riemann de f para la partición p como:
Donde:
y la suma superior de Riemann de f como:
Donde:
Claramente, si:
son particiones de tales que P’ es más fina que P entonces:
Nota: Si:
Al aumentar n consideramos cada vez particiones más finas luego las sumas inferiores de Riemann se aproximan cada vez más por defecto al área, la recta x=a y la recta x=b y con las sumas superiores nos aproximamos por exceso.
Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada de forma práctica, pues es necesario conocer el infinito y el supremo sobre cualquier partición
Ponemos las fórmulas más importantes:
Si deseas ver un ejemplo practico, da clic en la imagen
Fuentes:
Aun cuando las integrales definidas habían sido ya definidas y usadas mucho antes que Riemann, el generalizo este concepto para abarcar una categorial más amplia de funciones.
En la definición siguiente de la suma de Riemann, hay que observar que la función f no tiene más restricciones que estar definida en el intervalos y suponiendo que la función f es continua y no negativa porque se trata de áreas bajo la curva.
Sumas de Riemann
Una partición del intervalo es una colección de puntos. Sea definida en el intervalo cerrado y, sea una partición de dada por:
Que divide [a,b] en n subintervalos de longitudes:
Se dice que la partición es regular cunado todos los subintervalos tienen la misma longitud
Es una partición regular, las anchuras de los rectángulos de aproximación tienden a cero cuando n se hace grande. Puesto que éste no es necesariamente el caso para una partición general, se necesita alguna forma de medir el tamaño de estar anchuras. Una de ella consiste en hacer que máx se le llama norma de la partición. Dada una partición general la norma está relacionada con el número de subintervalos en [a,b] de la manera siguiente:
Por lo tanto, el número de subintervalos de una partición tiende a infinito cuando la norma de la partición tiende a=0. Es decir:
El enunciado, inverso de esta afirmación no es válido.
Suma superior y la suma inferior de Riemann
Sea:
una partición de [a,b]. Se define la la suma de Riemann de f para la partición p como:Donde:
y la suma superior de Riemann de f como:Donde:
Claramente, si:son particiones de tales que P’ es más fina que P entonces:Nota: Si:
Al aumentar n consideramos cada vez particiones más finas luego las sumas inferiores de Riemann se aproximan cada vez más por defecto al área, la recta x=a y la recta x=b y con las sumas superiores nos aproximamos por exceso.Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada de forma práctica, pues es necesario conocer el infinito y el supremo sobre cualquier partición
Ponemos las fórmulas más importantes:
Si deseas ver un ejemplo practico, da clic en la imagenFuentes:
- Cálculo Trascendentales Tempranas, James Stewart, Séptima Edición, Edit. CENAGAGE Learning.
- Cálculo Esencial, Larson, Hostetler, Edwars, Quinta Edición Edit. CENAGAGE Learning.
- Cálculo Trascendentales Tempranas, Anton, Cuarta Edición Edit. Limusa Wiley.
- http://www.dma.fi.upm.es/recursos/aplicaciones/calculo_infinitesimal/integracion/teoria_integral.html
